Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 114
i

Най­ди­те ко­ли­че­ство кор­ней урав­не­ния 32 синус 2x плюс 8 ко­си­нус 4x=23 на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние:

32 синус 2x плюс 8 ко­си­нус 4x=23 рав­но­силь­но 32 синус 2x плюс 8 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =23 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 32 синус 2x плюс 8 минус 16 синус в квад­ра­те 2x=23 рав­но­силь­но 16 синус в квад­ра­те 2x минус 32 синус 2x плюс 15=0.

Сде­ла­ем за­ме­ну: t= синус 2x, t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Тогда:

16t в квад­ра­те минус 32t плюс 15=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,t= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Пер­вый ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­ме­ны, сле­до­ва­тель­но,

синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: чис­ли­тель: Пи минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . .

От­ме­тим, что арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \approx 49 гра­ду­сов. Рас­смот­рим зна­че­ния x при раз­лич­ных зна­че­ни­ях n:

n= минус 1: со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 49 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 180 гра­ду­сов,x= дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус 49 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 180 гра­ду­сов . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 155,5 гра­ду­сов при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,x= минус 114,5 гра­ду­сов при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

n=0: со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 49 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x= дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус 49 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=24,5 гра­ду­сов при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,x=65,5 гра­ду­сов при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

n=1: со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 49 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 180 гра­ду­сов \notin левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,x= дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус 49 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 180 гра­ду­сов \notin левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка 4 корня.

 

Ответ: 4.


Аналоги к заданию № 114: 564 594 624 ... Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2013
Сложность: III
Классификатор алгебры: 6\.2\. Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной
Методы тригонометрии: Фор­му­лы крат­ных углов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025